Calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili. Cenni alla teoria di misura e integrale di Lebesgue. Problemi di conteggio, probabilità elementare, variabili aleatorie discrete, distribuzione gaussiana.
1. G.Giaquinta, G.Modica, Analisi Matematica IV, Funzioni di più variabili. Pitagora, 2005.
2. G.Modica , L.Poggiolini. Note di Calcolo delle Probabilità, Pitagora, 2011.
Obiettivi Formativi
Il Corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti:
CONOSCENZE sugli elementi di analisi matematica per funzioni di più variabili: derivate parziali, differenziale, gradiente, integrali multipli, misura di Lebesgue, aree e volumi. Problemi di conteggio, probabilità elementare, variabili aleatorie discrete e assolutamente continue.
COMPETENZE
necessari per la costruzione e lo studio di modelli matematici che utilizzano funzioni di più variabili.
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale delle funzioni di una variabile
Metodi Didattici
Lezioni frontali: esposizione della teoria prevista nel programma con interazione diretta docente-studente per assicurare la piena comprensione della materia.
Piattaforma Moodle: sviluppo dell'interazione online docente-studente, diffusione di esercizi, riferimenti bibliografici, di testi degli prove scritte degli anni passati.
Modalità di verifica apprendimento
Due prove intermedie in forma scritta costituite da 7-8 domande teoriche e dagli esercizi. Prova finale orale. Vengono proposte alcune domande teoriche insieme agli esercizi che la illustrano. Vengono valutate sia la capacità di comprendere e di comunicare la materia sia autonomia di ragionamento.
Programma del corso
1.1. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Derivate parziali e direzionali, gradiente e differenziale. Matrice Jacobiana. Derivate della composizione.
1.2. Teorema della funzione implicita e della funzione inversa.
1.3. Curve in Rn; retta tangente, curvatura. Superfici in Rn ; spazio tangente e vettore(i) normale(i).
1.4. Estremi delle funzioni di più variabili vincolati e non; condizioni di ottimalità.
Estremo relativo; principio di Lagrange.
1.5. Calcolo integrale: Cenni alla definizione di misura e integrale di Lebesgue. Teorema di Fubini e calcolo degli integrali multipli. Sostituzione delle variabili.
Misura e area.
2.1. Problemi di conteggio: coefficienti binomiali. Principio della somma e del prodotto nel calcolo combinatorio. Permutazioni, permutazioni senza punti fissi, conteggio di sottoinsiemi e di parole. Collocazioni ed estrazioni.
2.2. Probabilità elementare. Esempi: lancio del(i) dado(i) e della(e) moneta(e). estrazione dei numeri.
2.3. Sistema assiomatico della teoria delle probabilità. Eventi, σ-algebre, proprietà σ- additiva e assioma di continuità.
2.4. Principio di inclusione-esclusione per probabilità. Probabilità condizionata. Formula di Bayes.
2.5. Prove di Bernoulli, processo di Bernoulli finito,
2.6. Variabile aleatoria (discreta). Valore atteso e varianza. Distribuzioni binomiale, ipergeometrica, di Poisson. Teorema di Moivre. Teorema di Bernoulli.
2.7. V.a. assolutamente continue (AC). Calcolo del valore atteso e della varaianza. Teorema di composizione. Formula di Cavalieri.
2.8. Disuguaglianza di Chebyshev. Esempi di distribuzioni AC. Distribuzione uniforme. Distribuzione gaussiana o normale. Standartizzazione.